(普查练习)第5课 二次函数与一元二次方程、不等式-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第5课 二次函数与一元二次方程、不等式 普查与练习5　二次函数与一元二次方程、不等式 1．二次函数的图像与性质 a．二次函数图像与其他函数图像的综合 (1)(2020山东模拟，5分)函数y＝(a－1)x2－2x－1与函数y＝ax(a＞0且a≠1)在同一坐标系内的图像可能是(　C　) 解析：因为二次函数y＝(a－1)x2－2x－1的图像与y轴交于点(0，－1)，故A，D错误．当0＜a＜1时，指数函数y＝ax是减函数，二次函数y＝(a－1)x2－2x－1的图像开口向下，对称轴为直线x＝＜0，故C正确．当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，二次函数y＝(a－1)x2－2x－1的图像开口向上，对称轴为直线x＝＞0，故B错误．故选C. b．二次函数的单调性问题 (2)(2020山东章丘阶段性测试，5分)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围为(　D　) A. B. C. D. 解析：当a＝0时，函数f(x)＝2x－3是一次函数，且在区间(－∞，4)上单调递增；当a＞0时，二次函数f(x)＝ax2＋2x－3的图像开口向上，在定义域R上先单调递减后单调递增，所以在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的；当a＜0时，二次函数f(x)＝ax2＋2x－3的图像开口向下，在定义域R上先单调递增后单调递减，函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，则解得－≤a<0.综上可得，－≤a≤0 ，即实数a的取值范围为.故选D. (3)(2023改编，12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (Ⅰ)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间； 答案： f(|x|)的单调递减区间是[－4，0]，单调递增区间是(0，6] 解：当a＝1时， f(x)＝x2＋2x＋3，所以f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，x∈[－4，6]． 易知函数y＝x2＋2|x|＋3在R上为偶函数，且当x＞0时，函数单调递增， 所以当x＜0时，函数y＝x2＋2|x|＋3单调递减， 所以f(|x|)的单调递减区间是[－4，0]，单调递增区间是(0，6]．(4分) (Ⅱ)若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，求实数a的取值范围； 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解：由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是直线x＝－a，所以要使y＝f(x)在[－4，6]上是单调函数，应满足－a≤－4或－a≥6，即a≥4或a≤－6，所以实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(8分) (Ⅲ)若y＝f(x)在区间[－4，6]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． 答案：(－6，＋∞) 解：由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是直线x＝－a，所以要使y＝f(x)在区间[－4，6]上存在单调递增区间，只需－a＜6，即a＞－6，所以实数a的取值范围为(－6，＋∞)．(12分) c．二次函数的最值问题 (4)(2023汇编，25分)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c. (Ⅰ)令b＝－2，c＝－3. (ⅰ)求函数f(x)在[t，t＋2]上的最值； 答案：当t≥1时，函数f(x)的最小值为t2－2t－3，最大值为t2＋2t－3； 当t≤－1时，函数f(x)的最小值为t2＋2t－3，最大值为t2－2t－3； 当0≤t<1时，函数f(x)的最小值为－4，最大值为t2＋2t－3； 当－1<t<0时，函数f(x)的最小值为－4，最大值为t2－2t－3 解：由题知f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，其图像开口向上，且对称轴为直线x＝1. ①若t≥1，则函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(t)＝t2－2t－3，最大值为f(t＋2)＝(t＋2－1)2－4＝t2＋2t－3.(1分) ②若t＋2≤1，即t≤－1，则函数f(x)在[t，t＋2]上单调递减，所以函数f(x)的最小值为f(t＋2)＝t2＋2t－3，最大值为f(t)＝t2－2t－3.(2分) ③若－1<t<1，则函数f(x)在[t，1]上单调递减，在(1，t＋2]上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(1)＝－4.当t＋2－1≥1－t，即0≤t<1时，函数f(x)的最大值为f(t＋2)＝t2＋2t－3；当－1<t<0时，函数f(x)的最大值为f(t)＝t2－2t－3.(4分) 综上，当t≥1时，函数f(x)的最小值为t2－2t－3，最大值为t2＋2t－3； 当t≤－1时，函数f(x)的最小值为t2＋2t－3，最大值为t2－2t－3； 当0≤t<1时，函数f(x)的最小值为－4，最大值为t2＋2t－3； 当－1<t<0时，函数f(x)的最小值为－4，最大值为t2－2t－3.(5分) (ⅱ)若函数f(x)在[t