(普查练习)第4课 基本不等式-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第4课　基本不等式 普查与练习4　基本不等式 1．基本不等式应用过程中的易错点 (1)(2023汇编，5分)下列说法中，正确的有__2__个． ①当a＞b时，2a＋2b≥； ②当x＞0，y＞0时，x3＋y3≥； ③当0<x<时，cosx＋≥2； ④当x＞0，y＞0，且x2＋y2＝4时，2x2y≤4； ⑤当a≠0时，lg(a2＋1)>lg|2a|； ⑥当0<a<1，c>1时，lg(ac＋a－c)有最小值； ⑦当x∈∪时，y＝的值域为[，＋∞)； ⑧当0<x<2时，函数y＝的最大值为. 解析：①取a＝－1，b＝－2，可得2a＋2b＝2－1＋2－2<2，，显然①错误． ②(x3＋y3)(x＋y)≥2·2＝4x2y2，所以x3＋y3≥，当且仅当即x＝y时等号成立，故②正确． ③当0<x<时，0<cosx<1，则cosx＋≥2，等号成立的条件为cosx＝1，即x＝0，不符合题意，故③错误． ④因为x＞0，y＞0，所以x＋y≤2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以2x2y＝2x＋y≤22 ＝4，故④正确． ⑤因为a≠0，所以a2＋1≥|2a|，当且仅当a＝±1时等号成立，所以lg(a2＋1)≥lg|2a|，故⑤错误． ⑥易知ac>0，a－c>0，所以ac＋a－c≥2＝2，当且仅当ac＝a－c，即c＝0时取等号． 因为c>1，所以ac＋a－c无最小值，所以lg(ac＋a－c)无最小值，故⑥错误． ⑦y＝＝＝. 设tanx＝m，当m＞0，即x∈时，则有y＝＝(3m＋)≥×2＝， 当且仅当3m＝，m＝， 即tanx＝，x＝时等号成立． 当m＜0，即x∈时，y＝－≤－，当且仅当－3m＝－，即x＝－时等号成立．故y＝的值域为(－∞，－]∪[，＋∞)，故⑦错误． ⑧因为0＜x＜2，所以2x＜4，所以4－2x＞0， 所以y＝＝≤＝，当且仅当2x＝4－2x，x＝1时等号成立，故函数y＝的最大值为，故⑧错误． (2)(2023汇编，20分)已知x＞0，y＞0，x＋y＝1. (Ⅰ)求lnx＋的最大值； 答案：－2 解：因为x，y＞0，x＋y＝1，所以0＜x＜1，所以lnx＜0， 所以lnx＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－lnx＝－，lnx＝－，x＝e－ 时等号成立， 所以lnx＋的最大值为－2.(5分) (Ⅱ)求＋的最小值； 答案：9 解：(法一)因为x＞0，y＞0，x＋y＝1， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为9.(10分) (法二)＋＝＋≥＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为9.(10分) 变式：若条件不变，则 ①＋的最小值为__________． ②＋的最小值为__________． ③＋的最小值为__________． 解析：①因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝5，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为5. ②因为x＋y＝1，所以2x＋2y＋1＝3. (法一)＋＝＋＝2·＝≥(2＋2)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为. (法二)＋＝＋＝2≥2×＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为. ③因为x＋y＝1， 所以＋＝＋ ＝＋ ＝x－2＋＋y－1＋＝＋－2 ＝＋－2≥－2＝， 当且仅当＝，即x＝4－5，y＝6－4时等号成立， 所以＋的最小值为. (Ⅲ)求x(1＋2y)的最大值； 答案： 解：x(1＋2y)＝×2x(1＋2y)≤×2＝×2＝，当且仅当2x＝1＋2y，即x＝，y＝时等号成立，所以x(1＋2y)的最大值为.(15分) (Ⅳ)求z＝的最小值． 答案： 解：z＝＝＝＝＝xy＋－2. 设t＝xy≤＝，则0<t≤. 易得z＝t＋－2在上单调递减，所以当t＝时，z取得最小值＋8－2＝. 所以当x＝y＝时，z取得最小值.(20分) 变式：若x>0，y>0，则＋的最大值为________． 解析：＋＝ ＝＝＝. 令t＝＋，则t≥2＝4，当且仅当x＝2y时等号成立． 因为函数f(t)＝t＋在[4，＋∞)上单调递增， 所以f(t)＝t＋≥，所以＝≤＝， 所以＋的最大值为. 2．利用基本不等式求最值 (3)(2023汇编，15分)已知x＞0. (Ⅰ)若x＝u＋1，求函数y＝的最小值； 答案：9 解：因为x＝u＋1＞0，所以y＝＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，此时y取得最小值9.(5分) (Ⅱ)若不等式≤恒成立，求实数m的取值范围； 答案： 解：依题意得2m＋1≥＝恒成立． 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号， 所以的最大值为，所以2m＋1≥，解得m≥－， 所以m的取值范围为.(10分) (Ⅲ)若y＝，求y的最小值． 答案： 解：(法一)y＝＝＝1－＝1－≥1－＝， 当且仅当x＝，即x＝1时等