(普查练习)第2课 常用逻辑用语-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第2课 常用逻辑用语 普查与练习2　常用逻辑用语 1．命题真假的判断 (1)(2018北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f(x)＝sinx__． 解析：答案不唯一，如f(x)＝sinx, f(x)＝－x(x－3)等． (2)(2021山东聊城模拟，5分)如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题： ①“距离坐标”为(1，0)的两点间距离为2； ②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线； ③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个； ④若直线l1与l2的夹角是60°，则|OM|＝或|OM|＝. 提醒：可建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，并将其用p，q表示，从而得出|OM|的表达式． 其中所有真命题的序号为__③④__． 解析：①∵点的“距离坐标”为(1，0)，∴点到直线l1的距离为1，点到直线l2的距离为0，即点在直线l2上． 在直线l2上画出点P1，P2(P1，P2到直线l1的距离均为1，即|P1A1|＝|P2A2|＝1)，如图1所示． 由图可知|OP1|≥1，|OP2|≥1，当l1，l2互相垂直时等号成立， ∴|P1P2|≥1＋1＝2，故①错误． 图1 ②若p＝q，则M在直线l1，l2相交所成角的平分线上，∴点M的轨迹是两条过O点的直线，故②错误． ③如图2，作到直线l1距离为p的两条平行线，作到直线l2距离为q的两条平行线，则四条直线的交点即为“距离坐标”为(p，q)的点，有且仅有4个，故③正确． 图2 ④当直线l1与l2的夹角是60°时，直线l1与l2的位置如图3所示．以直线l2为x轴，垂直于l2的直线为y轴建立平面直角坐标系，则l1：y＝x，l2：y＝0. 设M(x，y)，则p＝，q＝|y|， ∴y＝±q，x＝，|OM|2＝x2＋y2＝(y±2p)2＋q2， ∴|OM|2＝(p2＋pq＋q2)或|OM|2＝(p2－pq＋q2)， ∴|OM|＝或|OM|＝，故④正确． 图3 故答案为③④. 2．充分条件与必要条件 a．充分条件与必要条件的判断 (3)(2023汇编，23分)下列各题是关于充分条件与必要条件的判断，请从所给的四个选项中选出正确的答案． ①已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　A　)(2021天津) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 ②已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　A　)(2021北京，4分) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ③等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　)(2021全国Ⅰ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ④已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　B　)(2021浙江，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ⑤若将函数f(x)＝sin(ω>0)的图像向左平移φ个单位长度得到函数g(x)的图像，则“ω＝”是“g(x)为偶函数”的(　D　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①解不等式a2>36可得a>6或a<－6. 因为a>6⇒a>6或a<－6，且a>6或a<－6⇒/　a>6， 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件． 故选A. ②若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)； 取f(x)＝2，满足f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)， 但f(x)＝2在上为减函数，在上为增函数，故“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”推不出“f(x)在[0，1]上单调递增”，故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件．故选A. ③当等比数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0， 但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件； 若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，因此必然有q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选B. ④如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a－b， 当AB⊥OC时，a－b与c垂直，(a－b)·c＝0， 所以