(普查练习)第16课 三角恒等变换-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第16课 三角恒等变换 普查与练习16 Ⅰ　　　　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差公式 a．两角和差公式的基本应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(2021全国模拟，5分) 已知点P，O为坐标原点，线段OP绕原点O逆时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为(　D　) A. B. C. D. 解析：设OP与x轴正方向的夹角为θ，则sinθ＝，cosθ＝.设P1(cosβ ，sinβ)， 则cosβ＝cos＝cosθ－sinθ＝， sinβ＝sin＝sinθ＋cosθ＝.故选D. (2)(2020全国Ⅲ，5分)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　D　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由2tanθ－tan＝7，得2tanθ－＝7， 即2tanθ－2tan2θ－tanθ－1＝7－7tanθ， 整理得(tanθ－2)2＝0，所以tanθ＝2.故选D. b．两角和差公式的逆用及变形应用 (3)(2020山东学业考试，5分)sin 110°·cos 40°－cos70°·sin 40°＝(　A　) A. B. C．－ D．－ 解析：sin 110°· cos 40°－cos 70°·sin 40° ＝sin 70°· cos 40°－cos 70°·sin 40° ＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝.故选A. (4)(2020江苏校级检测，5分)若A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝__2__，应用此结论求(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°)的值为__222__． 解析：因为A＋B＝45°， 所以(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB ＝tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＋1＋tanA·tanB ＝tan45°(1－tanA·tanB)＋1＋tanA·tanB＝2. (1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°) ＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)]·[(1＋tan2°)(1＋tan43°)]·…·[(1＋tan22°)(1＋tan23°)]＝222. c．辅助角公式的基本应用 (5)(2023改编，5分)已知角α为第一象限角，＝，则实数a的取值范围为____． 解析：由题意得a＝sinα＋cosα＝sin. 因为2kπ<α<2kπ＋，k∈Z， 所以2kπ＋<α＋<2kπ＋，k∈Z， 所以<sin≤1， 所以实数a的取值范围为. (6)(2020全国Ⅲ，5分)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝(　B　) A. B. C. D. 解析：∵sinθ＋sin＝1， ∴sinθ＋sinθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ＝＝1， 即sin＝1，∴sin＝.故选B. 2．二倍角公式 a．二倍角正弦公式的应用 (7)(2020北京东城区期末，5分)若函数f(x)＝sinxcosx，则f的值为____． 解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f＝sin(2×)＝sin＝×＝. (8)(2021贵州校级月考，5分)若3sinθ－cosθ＝0，则sin2θ＝(　A　) A. B．－ C. D．－ 解析：因为3sinθ－cosθ＝0，显然cosθ≠0，则tanθ＝，所以sin2θ＝＝＝＝＝，故选A. b．二倍角余弦公式的应用 (9)(2023汇编，25分)按要求完成下列各题． ①若sinx＝－，则cos2x＝____．(2020全国Ⅱ) ②已知sin2＝，则sin2α的值是____．(2020江苏) ③函数f(x)＝sin22x的最小正周期是____．(2019北京) ④已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　A　)(2020全国Ⅰ) A. B. C. D. ⑤cos2－cos2＝(　D　)(2021全国Ⅱ) A. B. C. D. 解析：①∵sinx＝－，∴cos2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝. ②由sin2＝＝＝，得sin2α＝. ③f(x)＝sin22x＝＝－cos4x＋，则最小正周期为＝. ④由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα－5＝0， 即3cos2α－4cosα－4＝0， 解得cosα＝2(舍去)或cosα＝－. 又∵α∈(0，π)， ∴sinα＝＝＝.故选A. ⑤由题意，得cos2－cos2＝cos2－cos2(－)＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. c．二倍角正切公式的应用 (10)(2021河南洛阳校级月考，5分)人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形