专题3.1 用树状图或表格求概率+专题3.2 用频率估计概率-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题3.1 用树状图或表格求概率+专题3.2 用频率估计概率 【学习目标】 1.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率； 2.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 3.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解； 4.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率； 【知识梳理】 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法 游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法 改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 5.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 6.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 注意：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 7.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 8．模拟试验 （1）模拟试验：在用试验法求某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定难度，或所等的结果误差较大，或试验次数太多，或试验具有一定的破坏性，因而完成试验既费时又费力。这时，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。 （2）模拟试验的两种方法：①利用替代物模拟试验估计概率；②利用计算器模拟试验估计概率。 （3）利用计算器产生随机数的大体步骤： ①进入产生随机数状态；②输入所产生随机数的范围；③按键得出随机数。 【高频考点精讲】 【高频考点1】用树状图或表格法求概率 例1.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______． 【答案】 【分析】画出树状图，求出点的所有情况数，然后找出两次向上一面的点数都是3的倍数的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解． 【详解】解：画树状图如下： 总情况数为：6×6=36种，两次向上一面的点数都是3的倍数的数目为4， 所以两次向上一面的点数都是3的倍数的概率，故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 变式1.（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）某校九年级举行毕业典礼，需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人．(1)如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是______； (2)如果选择2名主持人，请求出2名主持人恰好是1男1女的概率． 【答案】(1)(2)2名主持人恰好1男1女的概率为． 【分析】（1）根据一般的列举出即可求出男生当选的概率； （2）首先根据题意画出树状