5.3.2 导数在研究函数中的应用（二）（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2 导数在研究函数中的应用（二） · 考纲要求 1．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 2．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3．体会导数与单调性、极大(小)值、最大(小)值的关系． · 知识解读 知识点①函数的极值 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点②函数的最大(小)值 1．函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点③常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． · 题型讲解 题型一、利用导数研究函数极值问题 例1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 例2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－2 C．－2或－ D．2或－ 例3．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 例4．若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值，则a的范围是________． 例5．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值． 题型二、用导数求函数的最值 例1．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a＝________，b＝________. 例2．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) 例3．已知函数f(x)＝cosx＋aln x在x＝处取得极值，则函数f(x)在区间上的最小值为(　　) A．f(1) B．f C．f D．不存在 例4．已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)． (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)． 题型三、利用导数证明不等式 例1．已知函数．若，证明：当时，． 例2．已知函数．若，证明：当时，；当时，． 例3．已知函数f(x)＝ex－ax2．若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1． 例4．求证：当x≥1时，有x－ln2x≥1． · 达标训练 1．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　) ①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A．①②　　　 B．①③　 C．③④　　 D．②③ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 3．函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　) A． B． C．0 D． 4．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C．0 D．2 5．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 6．(2022·重庆联考)函数f(x)＝x＋2cos x在[0，π]上的最大值为(　　) A．π－2 B. C．2 D.＋ 7．(多选)已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有