5.3.1 导数在研究函数中的应用（一）（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.1 导数在研究函数中的应用（一） · 考纲要求 1．能利用导数研究函数的单调性． 2．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． · 知识解读 知识点①函数的单调性与导数的关系 一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系： 1．在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间； 2．在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间． 3．在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数． 知识点②利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点③常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． · 题型讲解 题型一、求函数的单调区间 例1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 例2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调递增区间是(　　) A．(－∞，e)　　　　　　 B．(1，e) C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞) 例3．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 例4．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为__________． 题型二、含参数的函数的单调性 例1．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a的值为________． 例2．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是__________. 例3．讨论函数f(x)＝x－aln x的单调性． 例4．(2019·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，讨论f(x)的单调性． 例5．已知函数f(x)＝－x＋aln x．讨论f(x)的单调性． 例6．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 题型三、函数单调性的应用问题 例1．已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈，则满足f(x0)>f的x0的取值范围为________． 例2．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) 例3．已知a、b、c∈，且a5＝5a、b4＝4b、c3＝3c，下列不等式正确的是(　　 ) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b · 达标训练 1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　　　B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1) 2．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　　) A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π) C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2) 5．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x