专题13.3 等腰三角形+专题13.4 最短路径问题-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题13.3 等腰三角形+专题13.4 最短路径问题 ( 目标导航 ) 1.掌握等腰三角形的性质，并能用它证明两个角相等，两条线段相等及两条直线垂直等； 2.掌握等腰（等边）三角形的判定定理； 3.熟练运用等腰（等边）三角形的性质定理与判定定理进行推理与计算； 4.熟练轴对称和两点之间，线段最短解决最短路径问题（将军饮马模型）。 ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的性质 【知识点】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 【知识拓展1】等腰三角形的性质（角度、长度问题） 例1.（2022江西吉安期末）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（          ） A．12或15 B．12 C．13 D．15 【答案】D 【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15； ②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 例2.（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°； （2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°， 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE， ∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE， 在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°， ∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°． 【即学即练】 1．（2022江苏苏州市月考）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（       ） A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20° 【答案】C 【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°， ②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°， 解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°； 综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键． 2．（2022•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长． 【解题思路