专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 例1．（2022·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 变式1．（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（       ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案． 【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 变式2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点． 则符合条件的点共有5个，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键． 例2．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点． （1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数． （3）等边三角形的巧妙点的个数有（       ） A．2个        B．6个 C．10个        D．12个 【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂