4.4数学归纳法的应用（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.4数学归纳法的应用（第2课时）（作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、填空题 1．（上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______. 【答案】 【分析】由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解.. 【详解】用数学归纳法证明等式时, 当时，左边所得的项是; 假设时,命题成立,左端为; 则当时,左端为, 所以从“”需增添的项是. 故填:. 【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题. 2．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______. 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案． 【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 二、解答题 3．（2022·上海虹口·高二期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，． (1)计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式； (2)用数学归纳法证明（1）中的猜测． 【答案】(1)，；，；，；猜测：数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数） (2)证明见解析 【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列，的通项公式；（2）根据数学归纳法证明，注意时的运算说明． (1)令，则 令，则 令，则 猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数） (2)当时，成立 假定当时，成立 当时，则 即成立 ∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）． 4．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明：． 【分析】先检验当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即，通过这个结论证明当时，等式也成立即可得证. 【详解】当时，，等式成立， 假设当时，等式成立，即 则当时， ，原等式仍然成立， 所以 【点睛】此题考查利用数学归纳法证明等式成立，关键在于熟练掌握数学归纳法证明步骤，根据步骤准确辨析. 5．（2020·上海·上外附中高二期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出） 2 3   5 4   6   6    8 5   7   7    9  7   9   9   11 …………………………………… 若第行所有的项的和为． （1）求； （2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2），；（3）. 【分析】（1）直接计算可得，写出第5行的16个数，再求和可得； （2）由题意可知，等式两边同除，得，利用等差数列的通项公式可得结果； （3）利用错位相减法可求出结果. 【详解】（1） 第第5行的16个数为6  8  8  10  8  10  10  12  8  10  10  12  10  12  12  14, 所以． （2）由题意，第行共有项， 于是有 等式两边同除，得， 即为等差数列，公差为，首项为 所以，即． （3），（1） ，（2） 两式相减得 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：（2）中，等式两边同除，再根据等差数列的通项公式求解是解题关键. 6．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．已知，，． (1)设，求数列的通项公式； (2)设，请用数学归纳法证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式； （2）先利用题意和等比数列求出，再利用数学归纳法可以证明. （1）由题意得数列是等差数列，设首项为，公差为， 由，，得 ，解得，. 故数列的通项公式为. (2)解：由（1）得， 又，且，， 所以； ①当时，，等式成立. ②假设当时等式成立，即， 当时， ，等式成立. 根据①和②可以断定对任何的都成立. 【能力提升】 一、填空题 1．（上海市晋元高级中学高二期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 ． 【答案】 【