不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

一元二次不等式恒成立和有解问题 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例1】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A. 【变式1-1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，当时，不等式恒成立， 故解得 故实数的取值范围是，故选：A 【变式1-2】关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式对恒成立， 所以对恒成立， 所以，当时，对恒成立． 当时，由题意，得，即，解得， 综上，的取值范围为．故选：C 【变式1-3】（多选）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意，关于的不等式对恒成立， 则，解得， A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件； B中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件； C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件； D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件. 故选：BD. 【变式1-4】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式为恒成立，； 当时，不等式可化为：， ，（当且仅当，即时取等号），； 综上所述：实数的取值范围为.故选：B. 题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】对于任意的，不等式， 即， 因此，对于任意的，恒成立， 当时，，， 当且仅当，即时取“=”， 即当时，取得最小值4，则， 所以实数的取值范围是. 【变式2-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题得， 当时，恒成立，； 当时，， 因为，所以（当且仅当时等号成立） 所以，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【变式2-2】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】不等式即为：， 当时，可变形为：，即. 又， 当且仅当，即时，等号成立， ，即. 故实数的取值范围是：. 【变式2-3】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意，不等式恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意，， 所以，解得， 故实数x的取值范围是．故选：D． 【变式2-4】已知关于的不等式． （1）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立 则关于的方程的判别式， 即，解得，所以实数的取值范围为． （2）不等式， 可看成关于的一次不等式，又， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是． 题型三 一元二次不等式在实数集上的有解问题 【例3】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为关于的不等式在上有解， 的最大值为4 所以，解得 故答案为： 【变式3-1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意； 当时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式有实数解，符合题意；