4.4数学归纳法（第1课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.4数学归纳法（第1课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 学习目标 1.了解数学归纳法的含义，掌握数学归纳法的步骤； 2.经历归纳-猜想-证明的过程，初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式； 3.体验数学的严密性，体会数学理性的美. 情境1：从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经学会了，不用先生再教了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖…… 大家猜猜他是如何写“万”字的呢？ 以上猜想是否正确？ 由特殊到一般的推理方法 —— 但是仅根据有限的特殊事例归纳 得出的结论有时是不正确的 归纳法 有没有一种数学方法能通过有限步骤来解决此类无限的问题？ 由此可以归纳出怎样的猜想？ 分组进行多米诺骨牌推倒游戏 小组讨论在这个游戏中： 如何使第2张牌倒下？ 第3张牌倒下？ 第4张牌倒下？ …… 如何使第k+1张牌倒下？…… 7 任意相邻的两张牌， 前一张牌倒下一定 导致后一牌牌倒下． 第一张 骨牌倒下 1 2 3 4 k K+1 …… …… 结论：多米诺骨牌会全部倒下． 任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部倒下，需要满足哪些条件？ 第一张骨牌倒下 n=1时，命题成立 第k张骨牌倒下导致第k+1张牌倒下 假设n=k时命题成立，推出n=k+1时命题也成立 所有骨牌倒下 命题对一切正整数n都成立 骨牌游戏 命题证明 类比多米诺骨牌推倒过程 证明情境3留下的问题 证明情境3的问题 证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． 等式也成立． 由（1）和（2）可以断定，等式对任何正整数n都成立 （2）假设当n=k时，等式成立，即 递推基础 递推依据 那么当n=k+1时， 数学归纳法 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时命题成立； （2）假设当 命题成立，证明 时命题也成立． 递推基础 递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” “综合（1）、（2），……”不可少！ 注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 总结：数学归纳法（证明方法） 根据（1）和（2）可断定命题成立． （1） 2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*) 那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+…+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。 缺乏“递推基础” 事实上，我们可以验证n=1时，原等式是不成立的！ 练习. 判断下列推论是否正确，若不正确，请说出理由 例1 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为d的等差数列， 那么满足任何成立. 证明: (1)当=1时,左边=,右边=+0×=,命题成立. (2)假设当= ()时, 等式成立, 即 那么 ] 由(1)和(2)可知，任何都成立. 即当= +1时，等式也成立. 归纳假设 ] 目 标 用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤： 使用前提 基础性 结 论 传递性 (1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 据(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确. 口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 例2 用数学归纳法证明:. 证明: (1)当=1时, 等式左边= =1， 右边= = ，等式成立. (2)假设当= ()时,等式成立,即= 由(1)和(2)可知，等式对任何都成立. 那么 即当= +1时，等式也成立. 目 标 例3 已知数列{}满足=0，试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解: 由可得 由可得 同理可得 归纳上述结果，猜想 分析: 先将数列{}的递推关系化为，通过计算,,,的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想. 证明: (2)当=1时，左边==0，右边==，猜想成立. 那么 (2)假设当= ()时，等式成立，即 由(1)和(2)可知，猜想对任何成立. 即当= +1时，猜想也成立. 例3 已知数列{}满足=0，试猜想数列{}的通项公式，并用数