第27讲 圆锥曲线中定直线问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第27讲 圆锥曲线中定直线问题 【典型例题】 【例1】（2022·重庆八中高三开学考试）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【例2】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点. (1)设的斜率分别为，求的值; (2)求证：点在定直线上. 【例3】（2022·山东聊城·三模）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上. 【例4】（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2. (1)求C的标准方程； (2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上. 【例5】（2021·贵州六盘水·一模（理））已知椭圆的离心率为，短轴的下端点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上异于且不关于轴对称的两点，，的中点为，求证：点在定直线上运动. 【例6】（2020·浙江·浙鳌高级中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为. （1）求，的值； （2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由. 【例7】（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，． (1)求的方程． (2)若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由． 【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上. 【例9】（2022·全国·高三专题练习）曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点． （1）求的方程； （2）求证：内切圆的圆心在定直线上． 【例10】（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程． 【题型专练】 1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 2．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为． (1)求椭圆的标准方程， (2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上． 3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，，过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点． (1)若直线l的斜率为3，求的值． (2)过点M且与y轴垂直的直线交直线EN于点G，探究：点G是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 5．（2021·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上． 6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关