第05讲 一元二次方程的应用（3大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）

第05讲一元二次方程的应用（3大考点） ( 考点 考向 ) 一、二次三项式在实数范围内因式分解 1、二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 二、列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 三、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2) 降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) ( 考点 精讲 ) 一、二次三项式在实数范围内因式分解 1.在实数范围内不能分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与 0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式， A：；B：； C：；D：； 只有C选项小于0 ，故选C． 【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可． 2.方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________． 【答案】． 【解析】，即得该式可分解为 ． 【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解． 3.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的一元二次方程的根为，， 由此对应的二次三项式分解为， 即为，故选C． 【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可． 4.若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________． 【答案】， 【解析】，∴，． 【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解． 5.在实数范围内分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）． 【解析】（1）原式； （2） 原式，令， 解得：，，即得； （3） 原式； （4） 原式． 【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为． 6.在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为． 【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为． 7.在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为． 【总结】考查二次三项式的因式分解，． 8.在实数范围内分解因式： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；