笔记&必记 第二章 直线和圆的方程-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

☑笔记&必记 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 核心·呈现 1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线！与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线（向上的方向之间所成的角α叫做直线！的倾 斜角。 ②当直线1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤a<180° 2.直线的斜率 a≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值 定义 a=90° 斜率不存在 记法 k,即k=tana(a≠90°) 范围 R 公式 经过两点P(y),P,(x2)(z≠x)的直线的斜率公式为k=业二当 x2-x1 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 同规律总结… 直线的倾斜角与斜率的关系 设直线的倾斜角为α，斜率为k. 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 y y 直线情况 O 0 a的大小 00 0°<a<90 909 90°<a<180 k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随a的增大而增大 随a的增大而增大 同名师点睛… 所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线的斜率不存在. 3.两条直线平行与垂直的判定 (1)平行、垂直与倾斜角的关系： 设两条不重合的直线4,2的倾斜角分别a1,a2,则 ·数学 第二章直线和圆的方程 l1∥l2台a1=a2; 1⊥l2台|a1-a2=90° (2)平行、垂直与斜率的关系： 两条不重合的直线11,2，其斜率分别为k1,k2,则 L1∥L2台k1=k2: l1⊥l2台k1k2=-1. ⊙名师点睛 (1)当两直线1，l2的斜率均不存在时，两直线也平行： (2)当两直线中的一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直. 典例·剖析 【例2一1一1】如果直线1经过点（一1,0），倾斜角为150°，将直线1绕点(-1,0)逆时针旋转60°后，得到直线，求直 线的倾斜角和斜率. 【解】如图所示.，直线1的倾斜角为150°， 1509 .l绕点（一1,0）逆时针旋转60°后， 30 60 所得直线的倾斜角a=(150°十60)一180°=30°， 1的斜牵k=tana=tan30°-且 3 【例2-1一2】若点P(x,y)在函数y=2.x十1（一2≤x≤2）的图象上运动，则义的取值范围是() A.[+) B(-0,] c[] n(-,]U[+∞) 【解析】：已知函数的图象是线段AB(其中A(2,5),B(一2，一3)，叉义的几何意义是过线段AB上的任意一点P (,0和坐标原点0(0,0)的直线的针率，且k=号，km=号，根据图泉，可知之的取值范围是(-60，号]U 5 [之，十o∞)故选D 5 【答案】D 【例2-1-3】已知直线(，l2的斜率是方程2x2-5x-2=0的两根，则4与l2的位置关系是() A.平行 B.重合 C.相交但不垂直D.垂直 【解析】易知方程2x2一5x一2=0的两根之积为一1，即直线，l2的斜率之积为一1，所以1与2垂直. 【答案D 【例2一1一4】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+),R(-2t,2),其中>0.试判断四边形OPQR的形状. 【解】由斜率公式得km==。t, t-0 2-(2+t) ka=2,1-20=-iF6,6m=之Q 一t -20=-7 2+t-t2 、1 km=-21-1=-2-i 数学· 15 笔记&必记_____ 所以k_m=k_3kw=k_r，从而OP∥RQ，OR∥PQ 所以四边形OPQR为平行四边形． 又k_w·k_w=-1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形。 2.2直线的方程 核心·呈现 截距_│直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 2.直线的两点式方程和截距式方程______ 3.直线的一般式方程： （1)定义：关于x.y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A.B不同时为0)叫做直线的一般式方程。简称一般式。 （2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 ―4.利用直线方程(斜截式和一般式)判断两直线的位置关系 _____________=b_2___A，C_2-A_xC_1=0 16﹒数学 第二章直线和圆的方程 典例·剖析 【例2一2一1】已知直线1过点P(一2,1). (1)当直线1与点B(一5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程： (2)当直线1与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线1的方程. 【解11)0当直线1/BC时6=c=。是=子，所以直线1的方程为y-1=-(+2)化为x十)-2=0 ②当直线1过线段0的中点时，由线段BC的中点为M(-1,3),所以直线1的