第八章 高考重难专攻（二） 第2课时 定点、定值、探索性问题-（课件 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第八章 平面解析几何 高考重难专攻(二)　圆锥曲线的综合问题 第二课时　定点、定值、探索性问题 请完成课下作业 观 谢 看 谢 题型一 定点问题 eq \a\vs4\al([师生共研]) [例1]　(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq \o(AG,\s\up16(→))·eq \o(GB,\s\up16(→))＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． [解]　(1)由题意得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)． 则eq \o(AG,\s\up16(→))＝(a，1)，eq \o(GB,\s\up16(→))＝(a，－1)． 由eq \o(AG,\s\up16(→))·eq \o(GB,\s\up16(→))＝8得a2－1＝8，即a＝3． 所以E的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1． (2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)． 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3． 由于直线PA的方程为y＝eq \f(t,9)(x＋3)， 所以y1＝eq \f(t,9)(x1＋3)． 直线PB的方程为y＝eq \f(t,3)(x－3)， 所以y2＝eq \f(t,3)(x2－3)． 可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)． 由于2,2)eq \f(x,9) ＋yeq \o\al(2,2)＝1，故yeq \o\al(2,2)＝－eq \f(（x2＋3）（x2－3）,9)， 可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)， 即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0．　① 将x＝my＋n代入eq \f(x2,9)＋y2＝1得 (m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0． 所以y1＋y2＝－eq \f(2mn,m2＋9)，y1y2＝eq \f(n2－9,m2＋9)． 代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0． 解得n＝－3(舍去)或n＝eq \f(3,2)． 故直线CD的方程为x＝my＋eq \f(3,2)，即直线CD过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))． 若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))． 综上，直线CD过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))． eq \a\vs4\al([解题攻略]) 定点问题 (1)参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． eq \a\vs4\al([跟踪训练]) (2021·南通一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)，求证：直线AB过x轴上一定点． 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以eq \f(p,2)＝1，所以p＝2． 所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)证明：①当直线AB的斜率不存在时， 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，－t))， 因为直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)， 所以eq \f(t,\f(t2,4))·eq \f(－t,\f(t2,4))＝－eq \f(1,2)，化简得t2＝32． 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8． ②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))消去x， 化简得ky2－4y＋4b＝0．所以yAyB＝eq \f(4b,k)． 因为直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)， 所以eq \f(yA,xA)·eq \f(yB,xB)＝－eq \f(1,2)， 整理得xAxB＋2yAyB＝0