(学案)第二章 第四讲 函数的奇偶性与周期性-2023年高考理科数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)老教材老高考

10. (1,2) 　 函数 f(x) = x2 -2ax -3 的图象开口向上,对称轴为直线 x = a,函 数在( -∞ ,a]和[a, +∞ )上都分别具有单调性,因此要使函数 f(x)在区 间[1,2]上不具有单调性,只需1 < a <2. 11. 14 　 0, 1 4[ ]　 令 t = x,则 t≥0, 所以 y = t - t2 = - t - 12( ) 2 + 14 , 所以当 t = 12 时,ymax = 1 4 . t = x为增函数,y = t - t2 在 - ∞ , 12( )上递增, 所以增区间为 0, 14[ ]. 12. (0,1) 　 f(x) = x 2, - 1 < x≤0, - x2,0 < x < 1,{ ∴ f(x)在( - 1,1)上单调递减, ∴ - 1 < 1 - m < 1, - 1 < m2 - 1 < 1, m2 - 1 < 1 - m, { 解得 0 < m < 1,∴ 解集为(0,1) . 13. [解析] 　 (1)a = - 1,f(x) = x2 - 2x + 2 = (x - 1) 2 + 1, 因为 x∈[ - 5,5],所以 x = 1 时,f(x)取最小值 1, x = - 5 时,f(x)取最大值 37. (2)f(x)的对称轴为 x = - a;因为 f(x)在[ - 5,5]上是单调函数, 所以 - a≤ - 5,或 - a≥5, 所以实数 a 的取值范围为( - ∞ , - 5]∪[5, + ∞ ). 14. [解析] 　 (1)解法一:任取 x1,x2∈[1,2],且 x1 < x2, 则 f(x2) - f(x1) = x22 x2 - 3 - x21 x1 - 3 = x22(x1 - 3) - x21(x2 - 3) (x2 - 3)(x1 - 3) = (x2 - x1)[x1 x2 - 3(x1 + x2)] (x2 - 3)(x1 - 3) , = (x2 - x1)[(x1 - 3)(x2 - 3) - 9] (x2 - 3)(x1 - 3) ∵ x1,x2∈[1,2], ∴ - 2≤x2 - 3≤ -1, - 2≤x1 - 3≤ -1, ∴ 1≤(x2 - 3)(x1 - 3)≤4,∴ (x1 - 3)(x2 - 3) - 9 < 0. 又 x2 - x1 > 0,(x2 - 3)(x1 - 3) > 0, ∴ (x2 - x1)[(x1 - 3)(x2 - 3) - 9] (x2 - 3)(x1 - 3) < 0, 即 f(x2) < f(x1). ∴ f(x)在[1,2]上为减函数. 解法二:∵ f(x) = x 2 x - 3, ∴ f ′(x) = 2x(x - 3) - x 2 (x - 3) 2 = x(x - 6) (x - 3) 2 , ∵ 1≤x≤2,∴ f ′(x) < 0,∴ f(x)在[1,2]上为减函数. (2)由(1)知 f(x)在[1,2]上为减函数, ∴ f(x)min = f(2) = 4 2 - 3 = - 4, f(x)max = f(1) = 1 1 - 3 = - 1 2 . B 组能力提升 1. C　 由题意知 f(x)在(0, + ∞ )上是减函数,A 中, f(x) = - 1x 不满足要 求;B 中,f(x) = (1 - x) 2 在(0,1]上是减函数,在(1, + ∞ )上是增函数; C 中,f(x) = e1 - x是减函数;D 中,f(x) = ln(x + 1)是增函数. 故选 C. 2. C　 ∵ a2 + a + 2 = a + 12( ) 2 + 74 ≥ 7 4 , 又 f(x)在 R 上是增函数, ∴ f(a2 + a + 2)≥f 74( ). 3. B　 由题知,g ( x) = x2,x > 1, 0,x = 1, - x2,x < 1, { 可得函数 g ( x) 的单调递减区间为 [0,1) . 故选 B. 4. A　 ∵ 函数 f(x)的定义域为 R,对任意 x1 < x2,有f(x1) - f(x2) < x1 - x2,即 [f(x1) - x1] - [f(x2) - x2] x1 - x2 >0,∴ 函数 R(x) = f(x) - x 是 R 上的增函数, f(2x - 1) > 2x,即f(2x - 1) - (2x - 1) > 1,即 R(2x - 1) > 1. 而 R(3) = f(3) - 3 = 1,故 R(2x - 1) > R(3),2x - 1 > 3,解得 x > 2,故选 A. 5. [解析] 　 (1)∵ 函数 f(x)满足 f(x1·x2) = f(x1) + f(x2), 令 x1 = x2 = 1