(学案)第二章 第八讲 函数的图象-2023年高考理科数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)老教材老高考

13. [解析] 　 (1)令 x - 3 = u,则 x = u + 3,于是 f( u) = loga 3 + u 3 - u( a > 0, a≠1, - 3 < u < 3), 所以 f(x) = loga 3 + x 3 - x(a > 0,a≠1, - 3 < x < 3) . (2)因为 f( - x) + f(x) = loga 3 - x 3 + x + loga 3 + x 3 - x = loga1 = 0, 所以 f( - x) = - f(x),又定义域( - 3,3)关于原点对称. 所以 f(x)是奇函数. 14. [解析] 　 (1)因为 f(1) = 2, 所以 loga4 = 2(a > 0,a≠1), 所以 a = 2. 由 1 + x > 0, 3 - x > 0,{ 得 - 1 < x < 3. 所以函数 f(x)的定义域为( - 1,3) . (2)f(x) = log2(1 + x) + log2(3 - x) = log2[(1 + x)(3 - x)] = log2[ - (x - 1) 2 + 4], 所以当 x∈( - 1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 故函数 f(x)在 0, 32[ ]上的最大值是 f(1) = log24 = 2. B 组能力提升 1. D　 由 f(x)在 R 上是减函数,知 0 < a < 1. 又 y = loga( | x | -1)是偶函数,定义域是( -∞, -1)∪(1, +∞). ∴ 当 x > 1 时,y = loga(x - 1)的图象由 y = logax 的图象向右平移一个单 位长度得到. 故选 D. 2. B　 ∵ 0 < a < 1,∴ 0 < a2 < a < a < 1, ∴ 在 A 中,log2a = log 2 a,故 A 错误; 在 B 中,log 2 a > log 2a,故 B 正确; 在 C 中,log2a > log 2a,故 C 错误; 在 D 中,log2 a > log 2a,故 D 错误. 3. A　 由题意可设太阳的星等为 m2,太阳的亮度为 E2,天狼星的星等为 m1,天狼星的亮度为 E1,则由 m2 - m1 = 5 2 lg E1 E2 ,得 - 26. 7 + 1. 45 = 5 2 lg E1 E2 , 52 lg E1 E2 = - 25. 25, ∴ lg E1 E2 = - 10. 1,lg E2 E1 = 10. 1, E2 E1 = 1010. 1 . 故选 A. 4. - 14 　 依题意得 f( x) = 1 2 log2 x·(2 + 2log2 x) = ( log2 x) 2 + log2 x = log2 x + 1 2( ) 2 - 14 ≥ - 1 4 ,当 log2 x = - 1 2 ,即 x = 2 2 时等号成立,所以 函数 f(x)的最小值为 - 14 . 5. [解析] 　 (1)由 f(x)的定义域为 R, 知 x2 - 2ax + 3 > 0 的解集为 R, 则 Δ = 4a2 - 12 < 0,解得 - 3 < a < 3. 所以 a 的取值范围为( - 3, 3) . (2)函数 f(x)的值域为 R 等价于 u = x2 - 2ax + 3 取(0, + ∞ )上的一切 值,所以只要 umin = 3 - a2≤0⇒a≤ - 3或a≥ 3. 所以实数 a 的取值范围是( - ∞ , - 3]∪[ 3, + ∞ ). (3)由 f(x)在[ - 1, + ∞ )内有意义, 知 u(x) = x2 - 2ax + 3 > 0 对 x∈[ - 1, + ∞ )恒成立, 因为 y = u(x)图象的对称轴为 x = a, 所以当 a < - 1 时,u(x)min = u( - 1) > 0, 即 a < - 1, 2a + 4 > 0,{ 解得 - 2 < a < - 1; 当 a≥ -1 时,u(x)min = u(a) =3 - a2 >0,即 - 3 < a < 3,所以 -1≤a < 3. 综上可知,a 的取值范围为( - 2, 3) . (4)因为 y = f(x)≤ -1,所以 u(x) =x2 -2ax +3 的值域为[2, +∞), 又 u(x) = (x - a) 2 + 3 - a2≥3 - a2, 则有 u(x)min = 3 - a2 = 2,解得 a = ± 1. 第八讲　 函数的图象 知识梳理 知识点 右移　 左移　 上移　 下移　 伸长　 缩短　 1ω 　 伸长　 缩短　 A　 - f(x) f( - x) 　 - f( - x) 　 f( | x | ) 　 | f(x) |