(学案)第二章 第三讲 函数的单调性与最值-2023年高考理科数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)老教材老高考

1 x + 1时取等号,验证得等号成立. ∴ y≥1 或 y≤ - 3. ∴ 函数的值域为( - ∞ , - 3]∪[1, + ∞ ) . 第三讲　 函数的单调性与最值 知识梳理 知识点一 f(x1) < f(x2)　 f(x1) > f(x2)　 上升的　 下降的　 增函数或减函数　 区间 D 知识点二 f(x)≤M　 f(x0) = M　 f(x)≥M　 f(x0) = M 双基自测 1. (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × [解析] 　 (1)函数的单调性体现了任意性,即对于单调区间上的任意两 个自变量值 x1,x2,均有 f(x1) < f(x2 )或f(x1) > f(x2),而不是区间上的 两个特殊值. (2)单调区间是定义域的子区间,如 y = x 在[1, + ∞ )上是增函数,但它 的单调递增区间是 R,而不是[1, + ∞ ). (3)多个单调区间不能用“∪”符号连接,而应用“,”或“和”连接. (4)设 f(x) = x　 　 x∈[0,1],1 x∈(1,2){ ,如图. 当 f( x1 ) > f ( x2 ) 时都有 x1 > x2,但 y = f(x) 不是增 函数. (5)当 f(x) = x 时,y = 1f(x) = 1 x ,有两个减区间,但 y = 1x 并不是减函数,而 y = f( - x)是由 y = f( t)与 t = - x 复合而成是减函数. 2. [ - 1,1]和[5,7] 3. m < 12 　 使 y = (2m -1)x + b 在R上是减函数,则2m -1 <0,即m < 1 2 . 4. 14 ,3[ ]　 - 15 5. 32 　 因为函数 f(x) = 3 x + 1在[2,5]上单调递减,所以f(x)max = f(2) = 1, f(x)min = f(5) = 1 2 ,f(x)max + f(x)min = 3 2 . 6. D　 排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项. 对于 f(x) = - x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故 A 不符合 题意; 对于 f(x) = 23( ) x ,由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故 B 不符 合题意; 对于 f(x) = x2,由二次函数的图象可知,f(x)在( - ∞ ,0)上单调递减,在 (0, + ∞ )上单调递增,故 C 不符合题意; 对于 f(x) = 3 x = x 1 3 ,由幂函数的性质可知,f( x)在( - ∞ , + ∞ )上单调 递增,故选 D. 7. D　 ∵ f(x) = lg(x2 -4x -5)在(a, +∞)上单调递增,y = lg x 在(0, +∞ )上单 调递增,∴ a 2 -4a -5≥0, a≥2,{ ∴ a≥5.故 a 的取值范围为[5, +∞). 考点突破·互动探究 例 1. [解析] 　 (1)对于 A、B 若 f( x) = x,则 A、B 都错,对于 C,当f(x) < 0 时无意义, 对于 D,y = 2 - f(x) = 12( ) f(x) ,y = 12( ) t ,t = f(x),复合函数 y = 12( ) f(x) 是减函数,故选 D. (2)方法一:由解析式可知,函数的定义域是( - ∞ ,0)∪(0, + ∞ ). 在 (0, + ∞ )内任取 x1,x2,令 0 < x1 < x2,那么f(x2) - f( x1 ) = x2 + k x2( ) - x1 + k x1( )= (x2 - x1) + k 1 x2 - 1x1( )= (x2 - x1) x1 x2 - k x1 x2 . 因为 0 < x1 < x2,所以 x2 - x1 > 0,x1 x2 > 0. 故当 x1,x2∈( k, + ∞ )时,f(x1) < f(x2), 即函数在( k, + ∞ )上单调递增. 当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1) > f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减. 考虑到函数 f(x) = x + kx (k > 0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具 有相同的单调性,故在( - ∞ , - k)上单调递增,在( - k,0)上单调 递减. 综上,函数 f(x)在( - ∞ , - k)和( k, + ∞ )上单调递增,在( - k,0)和 (0, k)上单调递减. 方法二:f ′(x) = 1 - k x2 (x≠0) . 令 f ′(x) > 0 得 x2 > k,即 x∈( - ∞ , - k)∪( k, + ∞ ),故函数的单调递 增区间为( - ∞ , - k)和( k, + ∞ ). 令 f ′(x) < 0 得 x2 < k,即 x∈