第13讲 圆锥曲线重点题型汇总-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线与方程 第13讲 圆锥曲线重点题型汇总 ◆题型01 圆锥曲线过定点问题 1．已知椭圆C： . （1）求椭圆C的离心率； （2）设 分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线 相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过 轴上的定点？试证明你的结论. 【答案】（1） （2）以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 ,证明见解析 【分析】 （1）先将 转化为 ,根据椭圆的性质得到 ,即可求出离心率. （2）根据椭圆方程求出 ,设 ,则 ①,分别求出直线 和 的方程,再分别与 相交于点 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 ,设以 为直径的圆经过 轴上的定点 ,则 ,即 得 ②,将①代入②得 解得 或 ,得出 为直径的圆是过定点 和 . 【详解】 解：（1）由 得 , 那么 所以 解得 , 所以离心率 （2）由题可知 , 设 ,则 ① 直线 的方程： 令 ,得 ,从而 点坐标为 直线 的方程： 令 ,得 ,从而 点坐标为 设以 为直径的圆经过 轴上的定点 ,则 由 得 ② 由①式得 ,代入②得 解得 或 所以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 . 2．设抛物线 的对称轴是 轴，顶点为坐标原点 ，点 在抛物线 上， （1）求抛物线 的标准方程； （2）直线 与抛物线 交于 、 两点（ 和 都不与 重合），且 ，求证：直线 过定点并求出该定点坐标. 【答案】（1） ；（2）证明见解析；直线 恒过点 . 【分析】 （1）设 ,将点 代入方程求解即可； （2）当 时显然不成立；当 时联立直线方程 与抛物线方程,利用韦达定理得到 及 的关系,由 可得 ,代入即可得到 与 的关系,进而得到定点；当 不存在时,联立直线方程 与抛物线方程,同理运算即可 【详解】 解：（1）因为抛物线 的对称轴是 轴,设抛物线 的标准方程为 , 因为抛物线 经过点 所以 ,所以 , 所以设抛物线 的标准方程为 （2）证明：当直线 的斜率存在且 时,显然直线 与抛物线至多只有一个交点,不符合题意； 当直线 的斜率存在且 时,设直线 的方程为 , 联立 ,消去 ,得 ①； 消去 ,得 ②； 设 ,则 为方程①的两根, 为方程②的两根, , 因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 即 , 所以 ,即 , 所以直线