第四章 第3节 三角恒等变换-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　三角恒等变换 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;  (2)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;  (3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;  (4)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;  (5)tan(α-β)=; (6)tan(α+β)=. 2.二倍角公式 (1)sin 2α=2sin αcos α;  (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=. 1.半角公式指的是sin =±,cos =±,tan = ±.它们可由二倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1以代α,然后变形导出,符号由所在的象限确定.注意:tan 还有一个同时使用sin α,cos α,但不带有根号的公式,即tan == .此公式不需要讨论所在的象限,使用方便. 2.积化和差公式指的是sin αcos β,cos αsin β,cos αcosβ, sin αsin β用α+β,α-β的三角函数表示,显然可由相应的和差角公式相加减得到. 3.和差化积公式指的是把sin α±sin β,cos α±cos β,用,的三角函数表示,这只须用角变换α=+,β=-,然后利用和差角公式展开合并即可. 1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α tan β);tan α·tan β=1-=-1. 2.降幂公式:sin2α=;cos2α=;sin αcos α=sin 2α. 3.升幂公式:1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2;1+sin α=(sin + cos )2;1-sin α=(sin -cos )2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=-=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-(-α)等. 5.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+),其中cos =,sin = . 6.万能公式 sin α=,cos α=,tan α=. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(必修第一册P220练习T3改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　D　) A.- B. C.- D. 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+ cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故选D. 2.若cos(θ+)=-,则cos 2θ的值为(　A　) A. B. C.± D. 解析:因为cos(θ+)=-,所以sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ=.故选A. 3.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=　　　　.  解析:tan β=tan [(α+β)-α]===. 答案: 4.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=　　　　.  解析:因为tan 60°=tan(10°+50°)=, 所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)= -tan 10°tan 50°, 故原式=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=. 答案: 5.若sin α+cos α=1,且α∈(0,π),则α=　　　　.  解析:因为sin α+cos α=2sin(α+)=1, 所以sin(α+)=,又α∈(0,π), 所以(α+)∈(,), 所以α+=,所以α=. 答案: 三角函数式的化简 1.已知θ∈(0,),且sin θ-cos θ=-,则等于(　D　) A. B. C. D. 解析:由sin θ-cos θ=-, 得sin(-θ)=, 因为θ∈(0,), 所以0<-θ<, 所以cos(-θ)=. = == =2cos(-θ)=.故选D. 2.化简:=　　　　.  解析:===4sin α. 答案:4sin α 3.化简:=　　　　.  解析:原式= = = ==cos 2x. 答案:cos 2x 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角