第一章 第2节 常用逻辑用语-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　常用逻辑用语 1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系. 2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件.反之,若p是q的必要条件,则q是p的充分条件,而如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. 2.全称量词命题与存在量词命题 (1)在给定集合中,断言所有元素都具有一种性质的命题叫作全称量词命题,在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示. (2)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题,在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示. (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”. (2)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等. 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∃x∈M,x具 有性质p(x) ∀x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 ∀x∈M,x具 有性质p(x) ∃x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词. 1.已知命题p:∀n∈N+,n2>n-1,则命题p的否定􀱑p为(　C　) A.∀n∈N+,n2≤n-1 B.∀n∈N+,n2<n-1 C.∃n∈N+,n2≤n-1 D.∃n∈N+,n2<n-1 解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p:∀n∈N+,n2>n-1的否定﹁p为“∃n∈N+,n2≤n-1”.故选C. 2.设x∈R,则“x>1”是“|x|>1”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当x>1时一定能够得到“|x|>1”,但是|x|>1却不一定得到x>1,也可以是x<-1.故选A. 3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　D　) A.一次函数都不是单调函数 B.非一次函数都不是单调函数 C.有些一次函数是单调函数 D.有些一次函数不是单调函数 解析:命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D. 4.(多选题)下列存在量词命题中的真命题是(　ABC　) A.∃x∈R,x≤0 B.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数 C.∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数 D.∃x∈Z,1<5x<3 解析:∃x=0∈R,使得x≤0,故A为真命题.整数1既不是合数,也不是素数,故B为真命题.若x=π,则x∈{x|x是无理数},x2是无理数,故C为真命题.因为1<5x<3,所以<x<,所以“∃x∈Z,1<5x<3”为假命题.故选ABC. 5.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由命题p有实数根,则Δ=16-4a≥0则a≤4,所以非p为真命题时a的取值范围为a>4. 又a>3m+1是非p为真命题的充分不必要条件,所以3m+1>4,m>1,则m的取值范围为(1,+∞). 答案:(1,+∞) 全称量词命题与存在量词命题 1.(2021·山东泰安高三三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是(　C　) A.所有奇函数的图象都不关于原点对称 B.所有非奇函数的图象都关于原点对称 C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称 D.存在一个奇函数的图象关于原点对称 解析:全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题,所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选C. 2.(2021·广东中山纪念中学等校高三联考)命题“∀x>-1,ln(1+x)≤x且ln(1+x)≥”的否定是(　C　) A.∀x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)< B.∀x≤-1,ln(1+x)>x且ln(1+x)< C.∃x>-1,ln(1+x)>x或ln(1+x)<　 D.