第一章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　不等式的性质、一元二次不等式 1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质. 2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系. 1.两个实数大小比较的基本事实 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 性质1 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 性质2 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 性质3 ⇒ac>bc 注意c 的符号 ⇒ac<bc 性质4 ⇒a+c>b+d ⇒ 性质5 ⇒ac>bd ⇒ ⇒ac<bd 性质6 a>b>0⇒> (n∈N+,n≥2) a,b同 为正数 不等式的性质中,含有⇒,⇔的作用是什么? 提示:不等式的性质中,含有⇒的只能用来证明不等式而不能解不等式,而含有⇔的只能用来解不等式. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2 (x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 形如ax2+bx+c>0的不等式一定是一元二次不等式吗? 提示:当a≠0时,ax2+bx+c>0是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式. 1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.两个重要不等式 (1)若a>b>0,m>0,则<. (2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则as+t+bs+t≥asbt+atbs. 1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　A　) A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3} C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6} 解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A. 2.下列四个命题中为真命题的是(　C　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若a>|b|,则a2>b2 D.若a>b,则< 解析:当c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),B不成立;a=2,b=-1时,D不成立;由a>|b|知a>0,所以a2>b2,C成立.故选C. 3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<},则ab的值为(　D　) A.-5 B.5 C.-6 D.6 解析:由已知得-1,是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,且a<0, 由根与系数的关系得 解得所以ab=6.故选D. 4.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　B　) A.[,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞) 解析:由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a, 令t=f(x)=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,　 又由∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立. 当a-3≤-2,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解; 当a-3>-2,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≤-1(舍去)或a≥2. 综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).故选B. 5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是　　　　台.  解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0, 所以x2+50x-30 000≥0, 得x≤-200(舍去)或x≥150, 又因为0<x<240,x∈N, 所以150≤x<240,x∈N. 答案:150 不等式的性质及其应用 1.(2021·四川高三三模)已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是(　D　) A.a2