第二章 第2节 函数的单调性与最值-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y=f(x)的定义域为D 如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)是增函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递增 如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈D”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间,三者缺一不可. (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,区间I为y=f(x)的单调区间. 若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 2.函数的最值 (1)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的最大值. (2)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≥M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.函数单调性的等价定义 设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增; (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 2.函数f(x)=ax+的单调性 若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区间(-,0),(0,)上是减函数,在区间(-∞,-),(,+∞)上是增函数. 特别地,“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间是[-,0),(0,]. 3.与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性. (4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数. (5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减. (6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:f(x)=-x为R上的减函数;f(x)=()x为R上的减函数;f(x)=x2在(-∞,0)上为减函数;f(x)=为R上的增函数.故选D. 2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(　B　) A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) 解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),所以a2-a>a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B. 3.已知二次函数f(x)=2x2-4x,则f(x)在[-1,]上的最大值为　　　　.  解析:f(x)=2x2-4x图象的对称轴为直线x=1, 因此函数在区间[-1,1]上单调递减,在[1,]上单调递增, 且f(-1)=6,f()=-,则有f(-1)>f(),则函数f(x)在区间[-1,]上的最大值为f(-1)=6. 答案:6 4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2. (1)若函数f(x)的单调递减区间是(-∞,6],则实数a的值(或取值范围)是　　　　;  (2)若函数f(x)在区间(-∞,6]上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是　　　　.  解析: