第二章 第5节 指数与指数函数-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　指数与指数函数 1.通过对正分数指数幂(a>0,且n>1,m,n互素)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.正分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 2.实数指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算. 3.指数函数的概念、图象与性质 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 递减 递增 函数变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数,不是指数函数. 1.指数函数图象的对称规律 函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 1.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为(　B　) A.4 B.8 C.16 D.1 解析:设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1),又由函数的图象过点(2,4),则a2=4,解得a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B. 2.某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　B　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N) 解析:设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)·(1+p%)=a(1+p%)3,…,则y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故选B. 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=mx;②y=nx的图象是(　C　) 解析:由0<m<n<1可知两曲线应为递减的曲线,故排除A,B,再由n>m可知应选C. 4.(2)0+2-2×(2)-(0.01等于(　A　) A. B.3 C.-8 D.0 解析:(2)0+2-2×(2)-(0.01=1+×-=.故选A. 5.写出一个在定义域R上满足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函数的一个函数:　　　　　　.  解析:满足性质f(x+y)=f(x)f(y)的函数是一个指数函数,要使指数函数是增函数,则只需要底数a>1即可. 答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底数a>1的指数函数即可) 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x.故选C. 2.已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:由题意,函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+=3,又f(2)=a2+a-2=(a+)2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.故选C. 3.化简÷()的值为　　　　.  解析:原式=÷() =÷() =÷() =÷(ab) = = 答案: 4.计算:(-)+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-. 答案:- 1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负数时,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数. 2.指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算