第二章 第8节 函数与方程-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第8节　函数与方程 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:使得f(x0)=0的数x0称为函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标. 2.零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点. 3.二分法 对于函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号. 4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点. 2.由函数y=f(x)(图象是连续的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 1.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析:因为函数f(x)=x2+2x+a没有零点,所以方程x2+2x+a=0无实根,即Δ=4-4a<0,由此可得a>1.故选B. 2.已知函数f(x)的图象是连续的,且有如下的x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 x 5 6 7 f(x) -52.488 -232.064 11.238 由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,所以存在零点的区间有4个.故选D. 3.函数f(x)=3x+2x的零点所在的区间是(　C　) A.(1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-2,-1) 解析:由于函数在R上单调递增,且f(-2)=+2×(-2)=-4<0,f(-1)=+2×(-1)=-2<0,f(0)=1>0, f(1)=3+2>0,f(2)=9+4>0,因此f(-1)f(0)<0,所以函数的零点所在的区间为(-1,0).故选C. 4.函数f(x)=的零点是(　B　) A.(-1,0),(1,0) B.-1,1 C.(-1,0) D.-1 解析:由题意可得解得x=-1; 解得x=1.综上x=±1.故选B. 函数零点存在定理的应用 1.函数f(x)=log2x-的零点所在区间为(　C　) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析:由题意可知函数在(0,+∞)上单调递增,且连续不间断. f()=log2-2<0,f(1)=log21-1<0,f(2)=log22->0, 由f(1)·f(2)<0及函数零点存在定理可得零点所在区间为(1,2).故选C. 2.已知函数h(x)=ex与g(x)=x2-8x,两个函数图象交点的横坐标所在的区间为(　B　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析:令f(x)=h(x)-g(x)=ex-x2+8x, 则f(-2)=e-2-(-2)2+8×(-2)<0, f(-1)=e-1-(-1)2+8×(-1)<0, f(0)=1,f(2)>0,所以f(-1)f(0)<0,又f(x)的图象连续,且在(-1,0)上单调,所以函数在区间(-1,0)内必有零点,即两个函数图象交点的横坐标所在的区间