第三章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c是常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.函数y=f(x)在x0处的导数 (1)定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 ==. 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作 f′(x0)==. (1)定义的变化形式:f′(x0)=. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x) |越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条. 2.函数y=f(x)的导函数 一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数 f′(x)=, 那么f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y′. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c是常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α是实数) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=loga x(a>0,a≠1) f′(x)= 函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数. 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=,g(x)≠0. 5.复合函数的导数 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数,记作y=f((x)),其中u为中间变量.复合函数y=f((x))对x的导数为y′x=[f((x))]′= f′(u)·′(x),其中u=(x). 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.函数f(x)=ex+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为(　A　) A.x+y-1=0 B.x+y+1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 解析:因为f(x)=ex+x2-2x,所以f′(x)=ex+2x-2,所以f′(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故选A. 2.下列求导数运算正确的是(　B　) A.(cos)′=-sin B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x+)′=1+ 解析:由于cos=,因此(cos)′=0,故A错误;(log2 x)′=,故B正确;(3x)′=3xln 3,故C错误;因为(x+)′=x′+()′=1-,故D错误.故选B. 3.设f(x)在x=x0处可导,且=1,则f′(x0)=(　C　) A.1 B.3 C. D.0 解析:=3=3f′(x0)=1, 所以f′(x0)=.故选C. 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　. 解析:由于f′(x)=,故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 5.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　.  解析:f′(x)=,因此f′(2)==. 答案: 导数的运算 1.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′