第十章 第1节 基本计数原理、排列与组合-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第1节　基本计数原理、排列与组合 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解基本计数原理的区别与联系,能运用基本计数原理分析并解决一些简单的实际问题. 2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式和组合数公式,能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题. (对应学生用书第166～167页) 1.两个计数原理 分类加法计数原理　完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第几类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…mn种方法.(也称“加法原理”) 分步乘法计数原理　完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第 1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…mn种方法.(也称“乘法原理”) 　　分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”. 2.排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定 义 排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合:一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,用符号 表示 公 式 排列数公式=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]= 组合数公式=== 性 质 =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!; 0!=1 =1; =;+= 备注 n,m∈N+且m≤n 1.解决排列、组合问题的五大技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. 2.三个常用公式 (1)=n. (2)(n+1)!-n!=n·n!. (3)k=n. 1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为(　C　) A.16 B.13 C.12 D.10 解析:将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走法,从2,3,4号门进入,同样各有3种走法,共有不同走法3×4=12(种).故选C. 2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　D　) A.144 B.120 C.72 D.24 解析:“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为=4×3×2=24.故选D. 3.如图,从A城到B城有3条路,从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有　　　　条不同的路线.  解析:共有3×4+4×5=32(条)不同的路线. 答案:32 4.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有　　　　种.  解析:设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有种摆法,再与产品D,E全排列有种摆法,最后把产品C插空有3种摆法,所以共有×3=36(种)不同摆法. 答案:36 (对应学生用书第167～168页) 分类加法、分步乘法计数原理 1.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　B　) A.60 B.48 C.36 D.24 解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.故选B. 2.现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是(　D　) A.120 B.140 C.240 D.260 解析:由题意,先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,最后涂C处,若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D. 3.若椭圆+=1的焦点在y轴上,且m∈{