培优专题10 等腰三角形的性质与判定-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题10 等腰三角形的性质与判定 ◎类型一：巧用三线合一解决问题 性质： ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 1．（2022·辽宁·本溪市第十二中学八年级阶段练习）等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（　　） A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的定义可得是顶角，再画出图形，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：等腰三角形中，， 是等腰三角形的顶角 由题意画出图形如下： 为的中点 又 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 2．（2022·陕西·西安凤凰城初级中学七年级阶段练习）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度． 【详解】解：如图，连接PB， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PC+PE＝PB+PE， ∵PE+PB≥BE， ∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度， CP+EP的最小值是：8． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______ 【答案】15°##15度 【分析】先判断出AD是等边三角形ABC中BC边上的中线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴AD是等边三角形ABC中BC边上的中线，（三线合一） ∴BD=CD=， ∵2ED＝BC，即ED= ∴CD=ED， ∴△CDE是等腰直角三角形 ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故答案为：15°. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，求出是解本题的关键． 4．（2022·江苏·沛县汉城文昌学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为：__________ 【答案】2 【分析】根据题意求出FC，根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵CB＝6，BF＝2， ∴FC＝CB−BF＝6−2＝4， ∵AB＝CB，BD⊥AC， ∴AD＝DC， ∵E为AF的中点， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DE＝FC＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．（2022·浙江省金华市永康中学八年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由等腰三角形的性质可证明F为AD的中点，可得EF为△ABD的中位线，可证得结论． 【详解】证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB， ∴CF为AD边上的中线， ∴F为AD的中点， 又AE＝EB， ∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF＝BD． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形中位线定理，利用等腰三角形“三线合一”的性质证得F为AD边的中点，是解题的关键． ◎类型二：等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知