培优专题12 最短路径-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题12 最短路径 ◎类型一：两定一动型 两定点到一动点的距离和最小。 类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小， 即PA+PB的和最小. 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（       ） A．15° B．25° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，由等边△ABC的边长为8，BF＝4知点F是AB中点，据此得点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，再根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E， ∵等边△ABC的边长为8，BF＝4， ∴点F是AB中点， ∴点G与点F关于AD对称， 此时BE+EF＝BG最小， 根据等边三角形的性质知∠EBC∠ABC＝30°， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点． 2．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】解：如图，连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC， ∴EB=EC， ∴BE+EF=CE+EF， ∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， ∴AD=CF=6， 即EF+BE的最小值为6． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 3．（2022·河南郑州·七年级期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）； 【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键． 4．（2022··八年级期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（       ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答． 【详解】解：过点P作关于直线l的对称点，连接对称点与点Q，交直线l于一点，即为点M， 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，利用轴对称作图，最短路径问题，正确掌握最短路径问题的解题方法是解题的关键． 5．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果． 【详解】 ∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝ ∴∠AOP＝∠AOB＝         ∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 ∴OP＝2DM＝8 ∴PD＝OP＝4 ∵C点是OB上一个动点 ∴当PC丄OB时，PC的值最小 此时PC＝PD＝4 ∴PC的最小值为4 故选C 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，