培优专题11 分类讨论求解等腰三角形的多解问题-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题11 分类讨论求解等腰三角形的多解问题 ◎类型一：对于顶角和底角的分类讨论 方法归纳：方法归纳:对于等腰三角形,只要已知它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,就要分两种情况来讨论.在分类时要注意:三角形的内角和等于180°;等腰三角形中至少有两个角相等。 1．（2022·全国·八年级专题练习）若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（       ） A．82° B．16° C．82°或49° D．82°或36° 【答案】C 【分析】分底角为82°与顶角为82°两种情况讨论，当顶角为82°时，底角为×（180°﹣82°）＝49°． 【详解】解：有两种情况：①底角是82°， ②顶角是82°，则底角是×（180°﹣82°）＝49°． 所以底角为82°或49°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论． 2．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（       ） A．50° B．60° C．65° D．80° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：等腰三角形的顶角， 每个底角， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________． 【答案】100°或40° 【分析】根据题意可分当顶角为40°时和底角为40°时进行分类求解即可． 【详解】解：①当顶角为40°时，则底角的度数为：； ②当底角的度数为40°时，顶角的度数为； 综上所述：它的顶角的度数为40°或100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 4．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）等腰三角形的顶角为36°，它的底角为______． 【答案】72°##72度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵（180°-36°）÷2=72°， ∴底角是72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质定理是解题的关键． 5．（2021·黑龙江·肇源县第二中学九年级期中）以正方形ABCD的边BC为边作等边△PBC，连接AP、DP，则∠APB＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点P在正方形ABCD内部时；当点P在正方形ABCD外部时，即可求解． 【详解】解：如图，当点P在正方形ABCD内部时， ∵△PBC是等边三角形， ∴BP=BC，∠PBC=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90°， ∴BA=BP，∠ABP=∠ABC-∠PBC=90°-60°=30°， ∴； 如图，当点P在正方形ABCD外部时， ∵△PBC是等边三角形， ∴BP=BC，∠PBC=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90°， ∴BA=BP，∠ABP=∠ABC+∠PBC=90°+60°=150°， ∴； 综上所述，∠APB＝或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． ◎类型二 对腰长和底长的分类讨论 方法归纳:在解答已知等腰三角形边长的问题时,当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”,哪条边是“底”时,往往要进行分类讨论。判定的依据是:三角形的任意两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。 6．（2020·全国·八年级单元测试）已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是　　 A．18cm B．21cm C．18cm或21cm D．无法确定 【答案】C 【分析】解决本题要注意分为两种情况,5为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答. 【详解】等腰三角形有两边分别是5cm和8cm，此题有两种情况：①5为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为5+8+8=21cm；②8为底边，那么5是腰，则等腰三角形的周长为5+5+8=18cm，∴等腰三角形的周长为21或18cm，故答案为C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及基本概念，利用等腰三角形的性质是解决本题的关键. 7．（2021·山东临沂·八年级期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．7cm或5cm C．5cm D．3cm 【答案】D 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三