3.3.2抛物线的简单几何性质（课件）-2022-2023学年高二数学同步名师精讲课件（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2抛物线的简单几何性质 Conic Section 第三章 圆锥曲线的方程 1 上节回顾 定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 2 第二部分 K F M • • x y O H K F M • • x y O H K F M • • x y O H K F M • • x y O H 四种不同的建立平面直角坐标系 3 C I N O C 曲线的简单几何性 思考类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y²=2px (p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？ K F M • • x y O H 4 目录 CONTENTS 1 2 3 4 探究抛物线的几何性质 抛物线的几何性质的应用 课堂练习 课后小结与预习 5 壹 第一部分 探究抛物线的几何性质 与利用椭圆、双曲线的方程研究它们的几何性质一样，我们利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质，包括抛物线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 下面，我们用椭圆方程 来研究抛物线的几何性质. 6 1.范围 K F M • • x y O H 1.范围因为p>0,由方程①可知，对于抛物线上的点M(x,y),x≥0,y∈R,当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，ǀyǀ的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 7 对称性 K F M(x,y) • • x y O H • • M′(x,-y) 以-y代y,方程①不变，所以抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 8 顶点 K F M • • x y O H 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中,当x=0时,y=0,因此抛物线的顶点就是原点. 9 离心率 K F M • • x y O H MF抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比 ,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知e=1. 10 贰 第二部分 抛物线的几何性质的应用 11 F A • • x y O B′ A′ B F A • • x y O D B x y O • D • • • • • C P M E B 叁 第三部分 课堂练习 15 肆 第四部分 课后小结与预习 22 01 02 03 04 05 3.1.1椭圆及标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质 3.2.1抛物线及标准方程 3.2.2抛物线的简单几何性质 3.3.1抛物线及标准方程 06 3.2.2抛物线的简单几何性质 第四部分 全章结束 24 谢谢观看 THANK YOU FOR YOUR WATCH 25 解得：， 所以抛物线的标准方程为：． 例4.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，则线段的长为. 解：的焦点，直线的方程为， 代入抛物线的方程，可得，解得， 即有． 例3．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点并且经过点，求它的标准方程． 解：由题意设抛物线的方程：， 将点代入可得：， 直线的方程为：，令，可得． 设直线的方程为：， 联立，化为， ．．． 直线平行于抛物线的对称轴． 例5．经过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴． 证明：设抛物线的标准方程为：． 设，，，． 因为点在线段上，所以① 又直线的方程为，点在线段上， 所以，② 由①②得， 即所求轨迹方程为． 第1页（共1页） 例6．如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 解：设点，，，，其中， 则点的坐标为，因为，所以直线的方程为 （3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 解：（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上， 设抛物线的方程为：， 则焦点，准线方程为：， 所以焦点关于准线的对称点的纵坐标为：，可得， 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： 由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上， 设抛物线的方程为：，， 令，可得， 解得， 由题意可得：，解得， 所以抛物线的方程为：； （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； 由题意可得准线上的两点也关于轴对称，且焦点到准线的距离，解得， 所以抛物线的方程为：． （3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． （3）由题