3.2.2双曲线的简单几何性质（课件）-2022-2023学年高二数学同步名师精讲课件（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质 Conic Section 第三章 圆锥曲线的方程 1 焦点在x轴的双曲线x2项系数为正. 焦点在y轴的椭圆y2项系数为正. 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 c2-a2=b2 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 上节回顾 2 C I N O C 曲线的简单几何性 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质?如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 3 目录 CONTENTS 1 2 3 4 探究双曲线的几何性质 双曲线的几何性质的应用 课堂练习 课后小结与预习 4 壹 第一部分 探究双曲线的几何性质 与利用椭圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质，包括双曲线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 下面，我们用椭圆方程 来研究双曲线的几何性质. 5 1.范围 1. 范围 F1 F2 O x y x=-a x=a • • 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R (图3.2-7). 图3.2-7 6 对称性 由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. F1 F2 O x y • • A1(x,y) A2(x,-y) A3(-x,y) A4(-x,-y) F1 F2 O x y • • A1(x,y) A3(-x,y) A2(x,-y) A4(-x,-y) 类比研究椭圆 对称性的方法，容易得到，双曲线 关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲 线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做观曲线的中心。 7 但我们也把 这两点画在y轴上(图3.2-8). 顶点 F1 F2 O 26 y • • A1 • 说明它与x轴有两个交点, 坐标分别为 B1(0,-b), B2(0,-b) A1(－a,0), A2(a,0). 说明它与y轴没有交点, 线段A1A2, B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b. a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长. A2 • B1 • B2 • 图3.2-8 2a 2b 类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点? 它们叫做双曲线的顶点. 8 渐近线 探究 利用信息技术画出双曲线 和两条直线 (图3.2-9). 在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线 的距离d,沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么? 9 渐近线 可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0. 实际上，经过两点A1, A2作y轴的平行线 ，经过两点B1，B2作x轴的平行线 ，四条直线围成一个矩形(图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是 . 可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交. 一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 在双曲线方程中，如果a=b,那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线 围成正方形，渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 10 离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，因为c>a>0，所以双曲线的离心率 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别? 11 离心率 例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程. 解： 把双曲线的