专题2.4 有理数新定义问题大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】

专题-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】 专题2.4有理数新定义问题大题专练（培优强化30题） 一．解答题（共30小题） 1．（2022春•锡山区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （3，9）＝　 　，（4，1）＝　 　，（2，）＝　 　； （2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c． 2．（2022春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： ①（3，81）＝　 　，（﹣2，﹣32）＝　 　； ②若（x，）＝﹣3，则x＝　 　． （2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 3．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2． 理解运用： （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； （2）“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：＝　 　；（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）； （4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p． 4．（2022春•沭阳县校级月考）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（﹣2，﹣8）＝　 　； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，试说明：a+b＝c． 5．（2022春•邗江区校级月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　 　，＝　 　； （2）将下列运算结果直接写成幂的形式：5⑥＝　 　；＝　 　； （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为 　 　； （4）算一算：42×④． 6．（2022春•泰州月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　 　，（4，4）＝　 　，（2，16）＝　 　； （2）记（5，6）＝a，（5，7）＝b，（5，42）＝c．求证：a+b＝c． 7．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）． （1）求2M（2018）+M（2019）的值． （2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由． 8．（2021秋•灌云县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝　 　，（2，）＝　 　； （2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 9．（2021秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　； （2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　 　；（）⑩＝　 　；aⓝ＝　 　； （3）计算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②． 10．（2022春•贾汪区校级月考）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想106×104＝　 　，10m×10n＝