1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

贵州省凯里一中 人教A版高中数学 选择性必修第一册 教学设计 尹 洪 QQ 7434510 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 一、教学目标 1、熟练掌握空间向量在空间直角坐标系中的表示，正确快速求取平面的法向量； 2、熟练掌握空间中直线、平面的平行和垂直在空间直角坐标系下的证明； 3、学会利用空间向量解决距离问题、夹角问题； 4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养. 二、教学重点、难点 重点：利用空间向量解决距离问题、夹角问题. 难点：熟练掌握利用空间向量解决距离问题、夹角问题. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【问题】空间中的距离包括点与点、点到直线、点到平面、两条平行直线、两个平行平面的距离等，如何通过空间向量有效解决上述问题？ （二）阅读精要，研讨新知 【发现】 空间中两点间的距离 已知，则 空间中点到直线的距离 直线的单位方向向量为，在直线上的投影向量， 则点到直线的距离为 两条平行线的距离转化为点到直线的距离 空间中点到平面的距离 是平面的法向量，，则点到平面的距离为 两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离 【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.） 例6如图1.4-18， 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离. 解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则 ，. 所以 （1） 取，则 所以，点到直线的距离为 （2）因为，所以,所以平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为,则 ，令，则， 所以是平面的一个法向量，又 所以点到平面的距离为 因此直线到平面的距离为. 【发现】 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题; （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间