第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-（课件 练习）2023高考数学一轮复习【高考前沿】

第二章 函 数 第三节　函数的奇偶性与周期性 　 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 　 f(x＋T)＝f(x) 最小 　 　 　 请完成课下作业 观 谢 看 谢 偶函数 奇函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 且_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 要点一 函数的奇偶性 [注意]　(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f（－x）,f（x）)＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f（－x）,f（x）)＝－1⇔f(x)为奇函数． eq \a\vs4\al([小题查验]) 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　　　　　 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 解析：D　f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)． 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)． 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3)． [易错提醒]　忽视奇偶函数的定义域关于原点对称致误． 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：A　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2． 4．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 解析：由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0；当－5≤x<－2时，f(x)>0．综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]． 答案：(－2，0)∪(2，5] 1．周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 要点二 函数的周期性 eq \a\vs4\al([小题查验]) 5．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 解析：D　结合周期函数的定义可知，A、B、C均为周期函数，D不是周期函数．故选D． 6．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，)) 则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________． 解析：由题意得：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋2＝1． 答案：1 [记结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f