培优专题04 构造三角形全等的方法技巧-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题04 构造三角形全等的方法技巧 ◎技巧一：利用“补形法”构造全等三角形 “补形法”是指补全图形的方法，主要是利用条件构造与已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解决问题。 1．（2022·福建漳州·八年级期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可． (1) 解：如图所示，线段为所求作的线段； (2) 已知：如图，是直角三角形，，． 求证：． 解法一：如图，在上截取一点，使得，连接． ∵，，∴． ∵，∴是等边三角形． ∴，． ∵，∴． ∴．∴． ∵，∴． 解法二：如图，延长至点，使，连接． ∵，， ∴，， ∵，，， ∴．∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵，∴． 【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键． 2．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D． （1）若的中点为M，连接交于点N，求证：； （2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）,证明见解析． 【分析】（1）由已知条件可得，进而得，由直线平分及直角三角形斜边上中线的性质得，再由三角形的外角定理，分别求得，根据角度的等量代换，即可得，最后由等角对等边的性质即可得证； （2）如图，延长交轴于点，先证明，得，再证明，即可得． 【详解】（1）， ， ， ， 直线平分， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 证明：如图，延长交轴于点， 直线平分，， ，， 又， （ASA）， ， ， ， 即， ， 又， （ASA）， ， 即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键． 4．（2021·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD． （1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大