培优专题09 全等三角形十大模型之角平分线和半角模型-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题09 全等三角形的十大模型之 角平分线和半角模型 ◎模型九： 角平分线模型 【模型1】：如图一，角平分线+对称型 CＣ O 1. BＢ AAA 1. Ｎ 1. Ｍ 图一 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等1. Ｃ 1. Ｏ 1. Ｂ 【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型 角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等． 如图二 【几何语言】：∵ OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB ∴，∴DE=DF 【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型 如图三 【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 【模型四】角平分线+平行线型 如图四 【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 1．（2022·全国·八年级）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】易证，可得，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可判断④正确； 【详解】∵ BD为∠ABC的角平分线， ∴ ∠ABD=∠CBD， ∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA， ∴△(SAS)，故①正确； ∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA， ∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， 故②正确； ∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE是等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， 故③正确； 作EG⊥BC，垂足为G，如图所示： ∵ E是BD上的点，∴EF=EG， 在△BEG和△BEF中 ∴ △BEG≌△BEF， ∴BG=BF， 在△CEG和△AFE中 ∴△CEG≌△AFE， ∴ AF=CG， ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 2．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 3．（2022·全国·八年级课时练习）已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC