培优专题08 全等三角形十大模型之截长补短和手拉手模型-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题08 全等三角形的十大模型之 截长补短和手拉手模型 ◎模型七：截长补短法 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数． 【详解】如图，在AC上截取AE=AN， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， 在△AME与△AMN中， ， ∴△AME≌△AMN（SAS）， ∴ME=MN． ∴BM+MN=BM+ME， 当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小， ∴MN⊥AB ∵∠BAC=68° ∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°， ∴∠BMN=180°-112°=68°． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题． 2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　） A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定 【答案】C 【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系. 【详解】解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠DAB=180°， 又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB ∴∠ABE+∠EAB==90°， ∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°， 在△ADE和△AFE中， ∴△ADE≌△AFE（SAS）， 所以∠1＝∠2， 又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°， 所以∠3＝∠4， 在△BCE和△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， 所以BC＝BF， 所以AB＝AF+BF＝AD+BC； 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法. 3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】## 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2021··九年级专题练习）如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，则AD的长为________． 【答案】 【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题． 【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK． ∵EB=ET， ∴∠B=∠ETB， ∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2， ∴∠AET=∠2， ∵AE=CD，ET=CK， ∴△AET≌△DCK(SAS)， ∴DK=AT，∠ATE=∠DKC， ∴∠ETB=∠DKB， ∴∠B=∠DKB， ∴DB