培优专题07 全等三角形十大模型之三垂直和倍长中线模型-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题07 全等三角形的十大模型之 三垂直和倍长中线模型 ◎模型五：三垂直全等模型 【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。 【常见模型】 1．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（       ） A．13 B．16 C．36 D．55 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，易证，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积． 【详解】解：如图： 根据题意，得，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，的面积分别为5和11， ，， ， 根据勾股定理，得， 的面积为16， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2021·辽宁·大石桥市周家镇中学八年级阶段练习）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（        ） A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm 【答案】C 【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE， ∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°； ∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC， ∴△ACD≌△CBE； ∴EC=AD，BE=DC； ∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm． 故选C． 【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，中，，则点B的坐标为________． 【答案】（4，1） 【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案． 【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D， ∵A（0，3），C（1，0）， ∴OA=3，OC=1， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCA+∠DCB=90°， ∵∠OAC+∠OCA=90°， ∴∠OAC=∠DCB， 在△OAC和△DCB中，， ∴△OAC≌△DCB， ∴BD=OC=1，CD=OA=3， ∴OD=OC+CD=4， ∴点B坐标为（4，1）． 故答案为：（4，1） 【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 4．（2020·河北唐山·八年级期中）已知：如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，根据图中所标注的数据，可求得阴影部分的面积为_______． 【答案】50 【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF，同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH， ∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°， ∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠EAF＝∠ABG， ∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG， ∴△EFA≌△ABG（AAS）， ∴AF＝BG，AG＝EF 同理证得：△BGC≌△DHC（AAS），得GC＝DH，CH＝BG 故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16， 故， 即：S(6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50． 故答案为：50． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 5．（2021·河南商丘·八年级期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt． (1)如图1，若，则点的坐标为______； (2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度． 【答案】(1)点C（3