培优专题06 全等三角形十大模型之旋转和一线三等角模型-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题06 全等三角形的十大模型之 旋转和一线三等角模型 ◎模型三 旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 1．（2022·甘肃平凉·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（          ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确． 【详解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°， ∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB， 又∵AB=AF=AC=AG， ∴△CAF≌△GAB（SAS）， ∴BG=CF，故①正确； ∵△FAC≌△BAG， ∴∠FCA=∠BGA， 又∵BC与AG所交的对顶角相等， ∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°， ∴BG⊥CF，故②正确； 过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N， ∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°， ∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°， ∴∠BAD=∠AFM， 又∵AF=AB， ∴△AFM≌△BAD（AAS）， ∴FM=AD，∠FAM=∠ABD， 故③正确， 同理△ANG≌△CDA， ∴NG=AD， ∴FM=NG， ∵FM⊥AE，NG⊥AE， ∴∠FME=∠ENG=90°， ∵∠AEF=∠NEG， ∴△FME≌△GNE（AAS）． ∴EF=EG． 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度． 【答案】132 【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【详解】解：∵，∴， 在和中，， ∴，∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故答案为132 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是______． 【答案】19 【详解】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴△BDC≌△BEA， ∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD， ∴△DBE是等边三角形， ∴DE=BD=9， ∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19， 故答案为：19． 5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上． （1）如图1，若，请说明； （2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1