培优专题05 全等三角形十大模型之平移和轴对称模型-【核心考点突破】2022-2023学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题05 全等三角形的十大模型之 平移、轴对称模型 （题型较难，根据情况选做，部分题目是后面学习内容） ◎模型一：平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 1．（2022·江西赣州·八年级期末）我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧． (1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC． (2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC． ①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC； ②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②补全图形见解析，MB＝MC 【分析】（1）根据三角形SAS判定定理证明三角形△BDM≌△CEM，证得MB＝MC． （2）先根据三角形ASA判定定理证明△ECM≌△DFM，再证明△BFM是等边三角形，证得MB＝MF＝MC；根据图4直接写出MB＝MC． （1）如图2，依题意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC， ∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC； （2）①如图3，延长CM交BD于点F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM， 在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM， ∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等边三角形，∴MB＝MF＝MC． ②补全图形如图4，MB＝MC． 【点睛】此题考查了三角形判定定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出所需要的条件证明三角形全等得出相应的结论． 2．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形． (1)如图1，计算图中格点△ABC的面积为_______； (2)如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点 ①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等； ②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得； ③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析；③见解析 【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案； （2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形． （1）△ABC的面积为：，故答案为：； （2）①如图，即为所求．②如图，即为所求．③如图，即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换，全等变换等知识，熟练掌握网格中作图方法是解题的关键． 3．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）数学活动—三角形平移中的数学问题． 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合． (1)独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明． (2)合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：． ②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段． (3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索． “爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)①见解析；②（或者等） (3) 【分析】（1）只需要证明AC与DE互相平分即可证明四边形AECD是矩形； （2）①只需要证明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可证明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可证明，； （3）如图所示，连接AD，由△ABC≌△DFE，得到点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，得到，证明△DAM≌△EBM（AAS），得到，设，则，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可． (1) 四边形AECD是矩形 理由如下 ， ， ， 点G是AC的中点， ， ， ∴， ∴AG=CG，DG=EG， ∴四边形AECD是平行四边形， 又AC=D