3.2 函数的基本性质-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

3.2 函数的基本性质 思维导图 新课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。 2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 知识梳理 一、增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 三、函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 四、函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 五、函数奇偶性的定义 1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 六、奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 名师导学 知识点1 函数单调性的判断/证明）（重点） 利用定义证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1<x2; (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性. 【例1-1】（2021·南通单元测试）已知函数f(x)=-x+,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明. 解:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 证明:∀0<x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-x1+--x2+=x2-x1+=(x2-x1)1+. ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>0, 故f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 【变式训练1-1】（2021·青岛质检）利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为－1<x1<x2， 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 知识点2 求函数的单调区间 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象． 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 【例2-1】如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图像,指出它的单调区间. 解:由图像知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7]. 【例2-2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增． (2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)， [1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减． 【变式训练2-1】[2021·厦门一中高一期中] 函数f(x)=x2-4x+3的单调递增区间为 (