专题2.7 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.7 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练（30道） 【人教A版2019必修第一册】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2021秋•封丘县期中）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围． 【解题思路】通过m是否为0，利用二次函数的性质以及判别式转化求解即可． 【解答过程】解：（1）当m＝0时，原不等式化为﹣8≥0，解集为空集，故不满足题意； （2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意； （3）当m＜0时，由题意，得：△≥0， 即（2m）2﹣4m×（﹣8）≥0， 又4m2+32m≥0， 因为m＜0， 所以m≤﹣8； 综上，当m≤﹣8或m＞0时，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解. 2．若关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，求a的取值范围． 【解题思路】根据题意不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，化为Δ＞0，求出解集即可． 【解答过程】解：关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解， 即不等式x2+ax﹣3a＜0有实数解， 所以Δ＝a2﹣4×（﹣3a）＞0， 解得a＜﹣12或a＞0， 所以a的取值范围是{a|a＜﹣12或a＞0}． 3．（2021秋•金山区校级期中）已知关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，求关于x的不等式ax+4＞7﹣2x的解． 【解题思路】依题意知，Δ＝a2﹣4≥0，又由ax+4＞7﹣2x⇔（a+2）x＞3，分a+2＞0或a+2＝0或a+2＜0三种情况，解出不等式的解即可． 【解答过程】解：由于关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解， 则Δ＝a2﹣4≥0，即a≥2或a≤﹣2 又由ax+4＞7﹣2x等价于（a+2）x＞3， 则当a≥2时，a+2＞0， 所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为 当a＝﹣2时，不等式无解 当a＜﹣2时，a+2＞0， 所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为． 4．（2021秋•东莞市校级期中）（1）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，求a+b的值． （2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，求a的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可得2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根，运用韦达定理，可得a，b，进而得到所求和； （2）由题意可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），求得f（x）的值域，即可得到所求范围． 【解答过程】解：（1）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}， 即为2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根， 可得a＝2+3，﹣b＝2×3， 解得a＝5，b＝﹣6， 则a+b＝﹣1； （2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解， 可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解， 由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4）， 可得f（2）取得最小值﹣6， f（1）＝﹣5，f（4）＝﹣2， 则f（x）的值域为[﹣6，﹣2）， 则a＜﹣2． 5．（2022春•金台区期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a， （1）解关于x的不等式f（x）＞0； （2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围． 【解题思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出． （2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出． 【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0． a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}； a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}； a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}． （2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立， ∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立． 易知 （﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1． 6．（2021秋•历城区校级月考）已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0． 【解题思路】（1）讨论a是否为0，可解． （2）根据x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又根据0≤a≤1，讨论a与1﹣a的大小，从而可解， 【解答过程】解：（1）当a＝0时，不等式ax2+2ax+1＝1＞0恒成立， 当a≠0时，若不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．则，得0＜a≤1， 综上，a的取值范围为[0，1]． （2）∵x2﹣x﹣a2+a＜