专题2.5 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.5 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型1 一元二次不等式的解法】 【方法点拨】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【例1】（2022春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的解法直接求解． 【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上， ∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为， 故选：B． 【变式1-1】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由一元二次不等式的解法分析得答案． 【解答过程】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0， 解可得：x≥1或x，即不等式的解集为{x|x或x≥1}， 故选：C． 【变式1-2】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 【解题思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集． 【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0， 解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4， ∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（﹣1，4）． 故选：C． 【变式1-3】（2022春•雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（　　） A． B．{x|x或x≥3} C． D．{x|x≤﹣3或x} 【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解． 【解答过程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2﹣x﹣15≥0， Δ＝1+120＝121， 解方程2x2﹣x﹣15＝0，得，x2＝3， ∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为{x|x或x≥3}． 故选：B． 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 【方法点拨】 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例2】（2022秋•兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x）＞0． 【解题思路】根据题意，a，转化不等式，求解即可． 【解答过程】解：∵0＜a＜1，∴a， 原不等式可化为（x﹣a）（x）＜0， 解得a＜x． 故不等式的解集为{x|a＜x}． 【变式2-1】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0． 【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可． 【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0． 由于二次项系数含参，故进行如下讨论： ①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2． ②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0． 解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为，x2＝2． 则：当时，解为：x＝2． 当时，，解为；． 当时，，解为：． 综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}． 当时，解集为{x|x＝2}． 当时，解集为：． 当时，解集为：． 【变式2-2】（2021秋•和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a）x+1＜0． 【解题思路】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解． 【解答过程】解：∵x2﹣（a）x+1＜0． ∴（x﹣a）（