第06讲 二次函数中的角相等或角的和差倍半关系（含2016年上海中考24题动图演示）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第06讲 二次函数中的角相等或角的和差倍半关系 【考点梳理】 1．对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 2.对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：①利用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；②将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；③利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；④利用角平分线的相关性质定理。 【典型例题】 题型一：角相等问题 1.（2016•上海）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积； （3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标． 2．（2022•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，顶点为C． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果∠BDC＝∠OAB，求平移的距离； （3）设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点Q落在△OAB内，求m的取值范围． 3．（2022•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内． （1）求抛物线的表达式； （2）当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQ∥CH，交对称轴l于点Q，且S△POQ：S△PAQ＝1：5，求直线PQ的表达式． 4．（2022•长宁区二模）如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点D的坐标为（4，1），抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴为直线x＝． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：菱形ABCD是正方形； （3）联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠PCD＝∠BCO，求点P的坐标． 5．（2022•浦东新区二模）如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点M在x轴上，且在点B的右侧，联结BC、CM，如果S△MBC：S△ABC＝4：7，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点D在线段OC上，∠CAD＝∠MCO，求OD的长度． 6．（2022•黄浦区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，直线经过点A，交抛物线的对称轴于点E． （1）求△ABE的面积； （2）联结EC，交x轴于点F，联结AC，若，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，点P是直线AE上一点，且∠EPB＝∠ECB，求点P的坐标． 7.（2022长宁一模24）抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求 的正切值； （3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长． 8.（2022黄埔一模24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E． （1）求抛物线的对称轴及B点的坐标 （2）如果，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标 题型二：二倍角关系问题 9.（2022年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D． （1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标； （2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式； （3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。 10.（2022徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E． （1）求直线AB的表达式，直接