第05讲 二次函数中线段相等或倍半关系问题（含2017年上海中考24题动图演示）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第05讲 二次函数中线段相等或倍半关系问题 【典型例题】 题型一：二次函数中线段相等问题 1.（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B． （1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值； （3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标． 2．（2022春•黄浦区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b经过点A，与线段BC交于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式； （2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD．当BD＝EO时，求∠DAO的余切值． 3．（2021秋•金山区期末）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）求∠PAQ的度数； （3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式． 4．（2021秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标； （3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度． 5．（2022春•嘉定区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标． 题型二：二次函数中线段的倍半关系 1．（2022春•徐汇区校级期中）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C都不重合）． （1）求抛物线解析式； （2）求点B的坐标； （3）设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2，试确定点P的横坐标． 2．（2021秋•奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标； （2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E． ①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数； ②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线的表达式． 3．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值； （3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标． 4.（2020长宁二模）如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点. （1）求抛物线的表达式和点的坐标； （2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x轴正半轴交于点，求的面积； （3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标. ( 图 7 - 1 -2 -3 -4 1 2 3 4 - 1 -2 -3 -4 1 2 3 4 O x y ) 5.（2020浦东二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； （3）点是该抛物线上一点，且在第