第03讲 二次函数中新定义与梯形存在性问题（含2019年上海中考24题动图演示）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第03讲 二次函数中新定义与梯形存在性问题 【考点梳理】 新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答. 梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利用各个条件，才能求出最后的结果． 【典型例题】 题型一：二次函数中新定义与一般梯形的存在性问题 1.（2019年上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式. 题型二：二次函数中新定义问题 1．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线． （1）求该抛物线的顶点P的坐标； （2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围； （3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围． 2．（2022春•虹口区校级期中）问题一：已知二次函数：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数），当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　 ． 问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数）图象的顶点为C． （1）如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围； （2）如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上（AB的下方）是否存在点P，使∠ABO＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由． 3．（2020秋•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标． 4．（2021•黄浦区二模）如果抛物线C1：y＝ax2+bx+c与抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线． （1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式； （2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积． （3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系． 5．（2021•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”． 如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC＝135°，求m的值． 题型三：二次函数中一般梯形存在性问题 6．（2021•浦东新区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，求抛物线的表达式； （3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值． 题