2.2.1直线的点斜式方程-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 2.2.1 直线的点斜式方程 复习引入 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的.那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题. 新知探索 如图，直线经过点，且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即. 由上述推导过程可知： (1)直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，我们还可以验证 (2)坐标满足关系式的每一个点都在直线上. 新知探索 事实上，若点的坐标满足关系式 ，则. 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.因为直线，的斜率都为，且都过点，所以它们重合.所以，点在直线上. 新知探索 由(1)(2)可得：坐标满足关系式的点一定在直线上；直线上任意一点的坐标一定满足关系式.我们把方程 称为过点，斜率为的直线的方程. 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 新知探索 思考1： (1)当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ (2)当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ l 当直线的倾斜角为时，即这时直线与轴平行或重合，直线的方程是即 l 新知探索 当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是即 l 例析 例1.直线经过点，且倾斜角求直线的点斜式方程，并画出直线. 解：直线经过点，斜率代入点斜式方程得: 画图时，只需再找出直线上的另一点，例如，取 则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图所示. 新知探索 下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得， 即. l 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，和均有明显的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 新知探