专题02 空间向量基本定理及范围最值-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2 空间向量基本定理及空间范围与最值 目录 【题型一】空间向量基底 1 【题型二】基底表示向量 3 【题型三】共面 5 【题型四】 空间向量概念综合 7 【题型五】空间向量数量积 9 【题型六】空间向量求长度 12 【题型七】数量积最值与范围 15 【题型八】空间长度最值与取值范围 17 【题型九】空间角度范围最值 19 【题型十】 轨迹 24 培优第一阶——基础过关练 27 培优第二阶——能力提升练 31 培优第三阶——培优拔尖练 36 【题型一】空间向量基底 【典例分析】 （2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面基本定理可知，，均与，共面即可得出答案. 【详解】因为，，， 所以由空间向量共面基本定理可知，，均与，共面，不能构成一组基底，故A、B、D错误，C正确. 故选：C． 【提分秘籍】 1.基本零向量能否作为基向量？ 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面 2.基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式训练】 1.（2023·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论． 【详解】由题意和空间向量的共面定理， 结合向量（）+（）＝2， 得与是共面向量， 同理与是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：C． 2.（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A：分析得到向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底； B：分析得到向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底； C：分析得到 是不共面向量，因此能构成一组基底， D：分析得到向量是共面向量，因此不能构成一组基底. 【详解】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底； B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底； C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底， D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C. 3.（2021·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面 【详解】解：，，，共面，不能构成基底，排除； ，，，共面，不能构成基底，排除； ，，，共面，不能构成基底，排除； 若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底． 故选：． 【题型二】基底表示向量 【典例分析】 （2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（       ） A． B． C．- D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算求解. 【详解】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以 故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 【变式训练】 1.（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得，故在基底下的坐标为.故选：B. 2.（2022·全国·高二专题练习）如